Critères de classification de l'attitude face au risque : concavité des fonctions d'utilité et coefficient de risque

L'analyse des préférences individuelles face à l'incertitude constitue un pilier fondamental de la théorie économique moderne. Pour comprendre comment les agents économiques évaluent les choix entre un gain certain et un gain potentiellement plus élevé mais incertain, il est impératif d'examiner la forme mathématique des fonctions d'utilité. La courbure de ces fonctions, et plus précisément leur concavité, sert de critère décisif pour classer les attitudes de prudence ou de recherche de risque.

La concavité comme indicateur de la prudence

Dans le cadre de la théorie de l'utilité espérée, la forme de la fonction d'utilité $U(W)$, où $W$ représente la richesse, détermine la réaction d'un individu face à un risque. Si la fonction est concave, cela signifie que la dérivée seconde est négative ($U''(W) < 0$). Cette propriété mathématique traduit une utilité marginale décroissante : chaque unité supplémentaire de richesse apporte moins de satisfaction que la précédente.

Un agent dont la fonction d'utilité est concave est par définition aversion au risque. Concrètement, ce type d'agent préfère une somme certaine à un jeu d'assurance équivalent, même si l'espérance mathématique du jeu est identique à celle de la somme certaine. Par exemple, un individu prudent choisira de payer une prime d'assurance pour éviter un événement potentiellement catastrophique, car la perte d'une partie de sa richesse certaine lui semble moins pénible que la possibilité de subir une perte totale.

À l'inverse, si la fonction d'utilité est convexe ($U''(W) > 0$), l'agent est prédisposé au risque. Pour lui, la variabilité de la richesse est attractive, car il valorise davantage le gain potentiel maximal que la sécurité d'un résultat moyen. Enfin, une fonction linéaire ($U''(W) = 0$) correspond à un agent neutre au risque, qui accepte le jeu uniquement si son espérance mathématique égale celle de l'alternative certaine.

Le coefficient de risque et la mesure quantitative

Si la concavité qualifie l'attitude, le coefficient de risque permet de la quantifier de manière rigoureuse. Ce concept, souvent attribué à Arrow et Pratt, offre une mesure locale de la sensibilité d'un agent aux variations de risque.

Le coefficient de risque absolu, noté $r(W)$, est défini par la formule suivante :
$$ r(W) = -\frac{U''(W)}{U'(W)} $$

L'interprétation de ce coefficient est cruciale pour la classification des attitudes :

• Un coefficient positif ($r(W) > 0$) indique une aversion au risque. Plus la valeur est élevée, plus l'agent est aversif.
• Un coefficient négatif ($r(W) < 0$) signale une prédisposition au risque.
• Un coefficient nul ($r(W) = 0$) caractérise la neutralité au risque.

Il est important de noter que ce coefficient peut varier selon le niveau de richesse de l'agent. Par exemple, dans le cas d'une fonction d'utilité logarithmique, le coefficient de risque décroît lorsque la richesse augmente. Cela implique que les agents riches sont généralement moins averses au risque que les agents pauvres, car leur utilité marginale diminue moins vite. Cette distinction est essentielle pour analyser les politiques publiques visant à protéger les populations vulnérables.

Applications pratiques et implications économiques

La distinction entre ces attitudes n'est pas seulement théorique ; elle a des répercussions directes sur les décisions financières et les politiques économiques.

• Marchés financiers et investissement : Les investisseurs prudents, caractérisés par une forte aversion au risque, privilégient les actifs à faible volatilité comme les obligations d'État. Ils exigent une prime de risque faible pour accepter d'investir dans des actifs spéculatifs. À l'inverse, les agents recherchant le risque sont moteurs de l'innovation et de l'allocation de capitaux vers des projets à haute incertitude.
• Assurance et gestion des risques : La demande d'assurance repose entièrement sur l'aversion au risque. Une société où la majorité des agents présenterait une fonction d'utilité convexe verrouillerait le marché de l'assurance, rendant impossible la protection contre les catastrophes naturelles ou les accidents.
• Politique budgétaire et redistribution : La conception des systèmes fiscaux et de protection sociale doit tenir compte des courbes d'utilité des différents groupes sociaux. Des mécanismes de redistribution peuvent être justifiés économiquement si l'on considère que les agents à faible revenu, possédant une utilité marginale plus élevée, sont plus averses au risque et nécessitent une sécurité financière accrue.

En conclusion, l'analyse de la concavité des fonctions d'utilité et le calcul du coefficient de risque sont des outils indispensables pour modéliser le comportement humain face à l'incertitude. Ils permettent aux économistes de prédire les choix d'investissement, de comprendre la dynamique des marchés de l'assurance et de concevoir des politiques publiques plus efficaces et équitables. La maîtrise de ces concepts est donc essentielle pour naviguer dans la complexité des systèmes économiques modernes.